Question

一道物理题！！急！！求解！！！拜托各位啦！！

某行星和地球绕太阳公转的轨道可视为圆。每过N年该行星会运行到日地连线的延长线上，则该行星与地球的公转半径之比为多少？

Answer 1

分析：每过N年该行星会运行到日地连线的延长线上。
这句话并不是说地球转了N圈而行星才转一圈，事实上N不一定是整数。
行星会运行到日地连线的延长线上，说明行星距离太阳比地球远。如若不然，行星会运行到地日连线上，而不是其延长线上。

这句话还说明一个问题，在追及的状态行星和地球一定在太阳的同侧，而不是一个在太阳这边，另一个在另一边。因为题目中说的是日地连线的延长线，而不是地日连线的延长线。
解题：基于以上分析，地球转过的角度为2Nπ，假设行星的角速度为ω弧度每年，则行星转过的角度为Nω。两者之差，一定是一个圆周的整数倍。
所以2Nπ-Nω=2π[N]，[N]代表对N取整数，例如1<N<2则[N]=1，如果2<N<3，[N]=2，依此类推。
所以ω=2π-2π[N]/N。
现在考虑N的取值范围，在追及的状态，一定有1<N<2，如若不然，如果2<N<3，则地球和行星一定会相遇两次。
所以1<N<2，那么[N]=1。
于是ω=2π-2π/N即ω=2π（1-1/N）
行星绕太阳运动，引力就是作为圆周运动的向心力。
所以GMm/r^2=mrω^2，
所以GM=r^3ω^2。
对于地球也能推导出这样的关系式，而GM是常数。
所以半径的立方之比，等于运转角速度的平方的反比。
而地球的角速度为2π弧度每年。
所以半径之比r2/r1=（2π/ω）^2/3
已经计算出行星的角速度ω=2π（1-1/N）
所以最终的结果是r2/r1=（N/（N-1））^2/3

Answer 2

解：设地球的周期为T1, 那么地球绕太阳的角速度ω1=2π/T1
设 某行星周期为T2， 那么该行星绕太阳的角速度ω2=2π/T2
行星要运行到日地连线的延长线上，就是要让地球和该行星绕太阳运动的总角度之差为2π
既：（ω1-ω2）t=（ω1-ω2）N=2πN(1/T1-1/T2)=2π
化简： (1/T1-1/T2)=1/N
地球周期T1=1 ，解出T2=N/(N-1)
T1/T2=(N-1)/N

然后由万有引力提供向心力：F=GMm/r^2=m4π^2×r/T^2
解得：T=√4π^2r^3/GM
说明行星周期与半径的3/2次方成正比
于是： T1/T2=√﹙r1^3/r2^3﹚ =(N-1)/N

最后解得：r1/r2=[(N-1)/N]^3/2

Answer 3

每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，说明N年后地球转了N圈，比行星多转1圈，即行星转了N-1圈.
所以行星的运行周期是N/(N-1)年，根据开普勒第三定律，对于太阳而言，饶饶它转动的行星都有R^3/T^2是定值，所以有R地^3/R行^3 =T地^2/T行^2，所以R行/R地=[N/(N-1)]^2/3

Answer 4

是否是应该分别考虑地球比行星运动可能快些，也可能慢些两种情况。所以，此题的答案是：
当地球绕太阳公转的运动比行星（比如木星、土星）快时：R行／R地＝(N/(N—1))^(2/3)　。
当地球绕太阳公转的运动比行星（比如水星、金星）慢时：R行／R地＝(N/(N＋1))^(2/3)　。

shu767256 提醒我们：地球绕太阳的公转周期是1年！这很重要！！！
对否，敬请指教！

Answer 5

设一地球年长k秒，则地球公转角速度：ω1=(2π)/k
地球向心加速度等于自身受太阳引力产生的加速度：ω1²×R1=GM/R1²
行星同上：ω2²×R2=GM/R2²
在地球上看，行星每N年周期性出现：(ω2-ω1)×n×k=2π
半径比：c=R2/R1
解得：
c=(N/(1+N))^(2/3)