Question

如图， Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E为BC边的中点，连接DE.（1）求证：DE与⊙O

如图， Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E为BC边的中点，连接DE.（1）求证：DE与⊙O 相切.（2）若tanC= ，DE=2，求AD的长．

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Answer 1

（1）证明见解析；（2） .

试题分析：（1）连接OD，BD，求出∠ADB＝∠BDC＝90°，推出DE＝BE＝CE，推出∠EDB＝∠EBD，∠OBD＝∠ODB，推出∠EDO＝∠EBO＝90°即可. （2）由∠BDC=90°，E为BC边的中点可得BC=4，在Rt△ABC中，由tanC＝ 可得AB=2 ，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC=6，由△ABD∽△ACB可求得AD= . 试题解析：（1）如图，连接BD、OD， ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°. ∵E为BC边的中点，∴DE=EC．∴∠1=∠C. ∵OA=OD，∴∠2=∠A. ∵∠ABC=90°，∴∠A+∠C =90°．∴∠1+∠2 =90°. ∴∠ODE =90°．∴OD⊥DE于点D. ∵以AB为直径的⊙O交AC于点D，∴D是半径的外端. ∴DE与⊙O 相切． （2）∵∠BDC=90°，E为BC边的中点，∴ . ∵DE=2，∴BC=4. 在Rt△ABC中，tanC= ，∴AB=BC· =2 . 在Rt△ABC中，AC= ， 又∵△ABD∽△ACB，∴ ，即 . ∴AD= .