Question

如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上（除B、C外）的任意一点，∠ADE=60°，且DE交△ABC外角∠ACF的平分

如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上（除B、C外）的任意一点，∠ADE=60°，且DE交△ABC外角∠ACF的平分线CE于点E（1）求证：∠1=∠2；（2）求证：AD=DE．

Answer 1

证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠ADE=60° ∴∠ADE=∠B=60°，∠ADC=∠2+∠ADE=∠1+∠B ∴∠1=∠2． （2）如图，在AB上取一点M，使BM=BD，连接MD． ∵△ABC是等边三角形 ∴∠B=60° ∴△BMD是等边三角形，∠BMD=60°．∠AMD=120°． ∵CE是△ABC外角∠ACF的平分线， ∴∠ECA=60°，∠DCE=120°． ∴∠AMD=∠DCE， ∵BA-BM=BC-BD，即MA=CD． 在△AMD和△DCE中 ∠1=∠2 AM=DC ∠AMD=∠DCE ， ∴△AMD≌△DCE（ASA）． ∴AD=DE．

Answer 2

证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠ADE=60°∴∠ADE=∠B=60°，∠ADC=∠2+∠ADE=∠1+∠B∴∠1=∠2．（2）如图，在AB上取一点M，使BM=BD，连接MD．∵△ABC是等边三角形∴∠B=60°∴△BMD是等边三角形，∠BMD=60°．∠AMD=120°．∵CE是△ABC外角∠ACF的平分线，∴∠ECA=60°，∠DCE=120°．∴∠AMD=∠DCE，∵BA-BM=BC-BD，即MA=CD．在△AMD和△DCE中 ∠1=∠2 AM=DC ∠AMD=∠DCE ，∴△AMD≌△DCE（ASA）．∴AD=DE