Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°．点D为△ABC内一点，且DB=DC，∠DCB=30°．点E为BD延长线上一

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°．点D为△ABC内一点，且DB=DC，∠DCB=30°．点E为BD延长线上一点，且AE=AB 小题1:求∠ADE的度数小题2:若点M在DE上，且DM=DA，求证：ME=DC．

Answer 1

小题1:60° 小题2:

（1）如图4． ∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°， ∴∠ABC=∠ACB= =75°． ∵DB=DC，∠DCB=30°， ∴∠DBC=∠DCB=30°． ∴∠1=∠ABC－∠DBC=75°－30°=45°． ∵AB=AC，DB=DC， ∴AD所在直线垂直平分BC． ∴AD平分∠BAC． ∴∠2= ∠BAC= =15°．   ∴∠ADE=∠1＋∠2 =45°＋15°=60°．  证明：（2）证法一：连接AM，取BE的中点N，连接AN．（如图5） ∵△ADM中，DM=DA，∠ADE=60°， ∴△ADM为等边三角形．   ∵△ABE中，AB=AE，N为BE的中点， ∴BN=NE，且AN⊥BE． ∴DN=NM．   ∴BN－DN =NE－NM， 即 BD=ME． ∵DB=DC， ∴ME = DC． 证法二：连接AM．（如图6） ∵△ADM中，DM=DA，∠ADE =60°， ∴△ADM为等边三角形． ∴∠3=60°． ∵AE=AB， ∴∠E=∠1=45°． ∴∠4=∠3－∠E=60°－45°=15°． ∴∠2=∠4． 在△ABD和△AEM中，              ∠1 =∠E， AB=AE， ∠2 =∠4， ∴△ABD≌△AEM．   ∴BD =EM． ∵DB = DC， ∴ME = DC．