Question

已知函数f（x）=alnx+x 2 （a为实常数），e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（

已知函数f（x）=alnx+x 2 （a为实常数），e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（2）若存在x∈[1，e]，使得不等式f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1） f′(x)= 2 x 2 +a x (x＞0) ，当[1，e]，2x 2 +a∈[a+2，a+2e 2 ]． ①若a≥-2，f′（x）在[1，e]上非负（仅当a=-2，x=1时，f′（x）=0，故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）] min =f（1）=1． ②若-2e 2 ＜a＜-2，当 x= -a 2 时，f′（x）=0；当 1≤x＜ -a 2 时，f′（x）＜0，此时f（x） 是减函数；当 -a 2 ＜x≤e 时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数．故 [f(x)] min =f( -a 2 ) = a 2 ln(- a 2 )- a 2 ． ③若a≤-2e 2 ，f′（x）在[1，e]上非正（仅当a=-2e 2 ，x=e时，f′（x）=0，故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）] min =f（e）=a+e 2 ． 综上可知， [f(x)] min = 1(a≥-2) a 2 ln(- a 2 )- a 2 (-2 e 2 ＜a＜-2) a+ e 2 (a≤-2 e 2 ) （2）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x-lnx）≥x 2 -2x． ∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x-lnx＞0， 因而 a≥ x 2 -2x x-lnx (x∈[1，e]) 令 g(x)= x 2 -2x x-lnx (x∈[1，e]) ，又 g′(x)= (x-1)(x+2-2lnx) (x-lnx) 2 ， 当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0， 从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），所g（x）在[1，e]上为增函数， 故g（x）的最大值为g（e）= e 2 -2e e-1 ，所以a的取值范围是[ e 2 -2e e-1 ，+∞）．