Question

已知某几何体的三视图如图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩形，且AA 1 =3，设D为AA 1 的

已知某几何体的三视图如图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩形，且AA 1 =3，设D为AA 1 的中点．（1）作出该几何体的直观图并求其体积；（2）求证：平面BB 1 C 1 C⊥平面BDC 1 ；（3）BC边上是否存在点P，使AP ∥ 平面BDC 1 ？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论．

Answer 1

（1）由题意可知该几何体为直三棱柱，它的直观图如图所示： ∵几何体的底面积S= 3 ，高h=3 ∴所求几何体的体积V=Sh=3 3 ， 证明：（2）连接B 1 C交BC 1 于E点，则E为B 1 C，BC 1 的中点，连接DE ∵AD=A 1 D，AB=A 1 C 1 ，∠BAD=∠DA 1 C 1 =90° ∴△ABD≌△DA 1 C 1 ， ∴BD=DC 1 ， ∴DE⊥BC 1 ， 又∵B 1 C∩BC 1 =E， ∴DE⊥平面BB 1 C 1 C 又∵DE?平面BDC 1 ， ∴平面BDC 1 ⊥平面BB 1 C 1 C （3）取BC的中点P，连接AP，则AP ∥ BDC 1 ， ∴四边形APED为平行四边形 ∴AP ∥ DE， 又∵DE?BDC 1 ，AP?BDC 1 ， ∴AP ∥ BDC 1 ．