Question

如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求

如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1B1；（3）求CP与平面BDD1B1所成的角大小．

Answer 1

（1）证明：设AC和BD交于点O，连PO，由P，O分别改穗是DD₁，BD的中点，故PO∥BD₁，
∵PO?平面PAC，BD₁?平面PAC，所以含歼戚，直线BD₁∥平面PAC．
（2）长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，又DD₁⊥面ABCD，则DD₁⊥AC．
∵BD?平面BDD₁B₁，D₁D?平面BDD₁B₁，BD∩D₁D=D，∴AC⊥面BDD₁B₁．∵AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD₁B₁ ．
（3）由（2）已证：AC⊥面BDD₁B₁，∴CP在平面BDD₁B₁内的射影为OP，∴∠CPO是CP与平面BDD₁B₁所成的角．
依题意得CP＝

CD2+DP2

＝

2

，CO＝

1

2

AC＝

2

2

，在Rt△CPO中，谈陵CO＝

1

2

CP，∴∠CPO=30°
∴CP与平面BDD₁B₁所成的角为30°．