Question

设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=2an-2n+1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{cn}满足c

设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=2an-2n+1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{cn}满足cn＝1log2(ann+1)+3(n∈N*)，Tn=c1c2+c2c3+c3c4+…+cncn+1，若对一切n∈N*不等式4mTn＞cn恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）当n=1时，a₁=4（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-2ⁿ?a_n=2a_n-1+2ⁿ（2分）

an

2n

＝

an?1

2n?1

+1，
∴{

an

2n

}是首项为2，公差为1的等差数列（3分）

an

2n

＝2+n?1?an＝(n+1)?2n（5分）
（2）cn＝

1

n+3

，cn?cn+1＝

1

n+3

?

1

n+4

＝

1

n+3

?

1

n+4

（7分）Tn＝

1

4

?

1

5

+

1

5

?

1

6

+

1

6

?

1

7

++

1

n+3

?

1

n+4

＝

1

4

?

1

n+4

＝

n

4(n+4)

（9分）
4mT_n＞c_n对一切n∈N^*恒成立，则m＞

(n+4)

n(n+3)

（11分）
而

n+4

n(n+3)

＝

n+4

n2+3n

＝

n+4

(n+4)2?5(n+4)+4

＝

1

(n+4)+ 4 n+4 ?5

≤

5

4

（13分）
m＞

5

4

（14分）