Question

（2010?崇文区一模）已知抛物线y=ax2+bx+1经过点A（1，3）和点B（2，1）．（1）求此抛物线解析式；（2）

（2010?崇文区一模）已知抛物线y=ax2+bx+1经过点A（1，3）和点B（2，1）．（1）求此抛物线解析式；（2）点C、D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值；（3）过点B作x轴的垂线，垂足为E点．点P从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点，再沿FE到达E点，若P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的2倍，试确定点F的位置，使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短．（要求：简述确定F点位置的方法，但不要求证明）

Answer 1

解：（1）依题意：

3＝a+b+1 1＝4a+2b+1

，
解得

a＝?2 b＝4

；
∴抛物线的解析式为y=-2x²+4x+1．

（2）点A（1，3）关于y轴的对称点A'的坐标是（-1，3），
点B（2，1）关于x轴的对称点B'的坐标是（2，-1）；
由对称性可知AB+BC+CD+DA=AB+B'C+CD+DA'≥AB+A'B'，
由勾股定理可求AB=

5

，A'B'=5．
所以，四边形ABCD周长的最小值是AB+A′B′＝5+

5

．

（3）确定F点位置的方法：过点E作直线EG使对称轴到直线EG成45°角，
则EG与对称轴的交点为所求的F点；
设对称轴于x轴交于点H；
在Rt△HEF中，由HE=1，∠FHE=90°，∠EFH=45°，
得HF=1．
所以，点F的坐标是（1，1）．