Question

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，且an+2SnSn-1=0（n≥2），（1）求数列{Sn}的通项公式；（2）设Sn=1f

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，且an+2SnSn-1=0（n≥2），（1）求数列{Sn}的通项公式；（2）设Sn=1f(n)，bn=f（12n）+1．记Pn=S1S2+S2S3+…+SnSn+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，试求Tn，并证明Pn＜12．

Answer 1

解答：（1）解：∵a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2），
∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0．---------（3分）
∴

1

Sn

-

1

Sn?1

=2．
又∵a₁=1，---------------（5分）
∴S_n=

1

2n?1

（n∈N₊）．---------------（7分）
（2）证明：∵S_n=

1

f(n)

，∴f（n）=2n-1．--------------------------（8分）
∴b_n=2（

1

2n

）-1+1=（

1

2

）^n-1．---------------------------------------（9分）
T_n=（

1

2

）⁰?（

1

2

）¹+（

1

2

）¹?（

1

2

）²+…+（

1

2

）^n-1?（

1

2

）ⁿ=（

1

2

）¹+（

1

2

）³+（

1

2

）⁵+…+（

1

2

）^2n-1
=

2

3

[1-（

1

4

）ⁿ]．-------------------------------------------------------（11分）
∴P_n=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n?1)(2n+1)

---------------（13分）
=

1

2

(1?

1

3

+

1

3

?

1

5

+…+

1

2n?1

?

1

2n+1

)=

1

2

(1?

1

2n+1

)-------------------------------（14分）