Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足.an?1 Sn1.＝1（n为正整数）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记S=a

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足.an?1 Sn1.＝1（n为正整数）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记S=a1+a2+…+an+…．试比较S与（n+1）an的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）由题意得a_n+S_n=1，从而a_n-1+S_n-1=1
以上两式相减得到a_n-a_n-1+（S_n-S_n-1）=0，即a_n-a_n-1+a_n=0，…3分
所以

an

an?1

＝

1

2

，数列{a_n}是公比为

1

2

等比数列，又a₁+S₁=1，a1＝

1

2

，
所以an＝

1

2

(

1

2

)n?1＝(

1

2

)n…6分
（2）S＝

1 2

1? 1 2

＝1，(n+1)an＝

n+1

2n

，…8分
设f(n)＝

n+1

2n

，则f(n+1)＝

n+2

2n+1

，f(n+1)?f(n)＝

n+2

2n+1

?

n+1

2n

=?

n

2n+1

＜0
所以，函数f（n）在n∈N^*上单调递减，所以f（n）的最大值是f（1）=1，
所以S≥（n+1）a_n…12分．