Question

已知三角形ABC，以BC为O直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为弧CF的中点，连接BE交AC于点M，AD为三角形ABC

的角平分线，且AD垂直BE，垂足为点H。（1）求证：AB是半圆O的切线；（2）若AB=3，BC=4求BE的长。

Answer 1

1、连接BF、C

∵BC是直径

∴∠BEC=∠BFM=90°

∵E是弧CF的中点

∴弧EF=弧EC

∴∠FBE=∠EBC

∴△BFM∽△BEC

∴∠BCE=∠FMB=∠AMH

∵AD⊥BE即∠AHB=∠AHM=90°

AD平分∠BAC即∠BAH=∠MAH

AH=AH

∴△ABH≌△AMH(ASA)

∴∠ABE(∠ABH)=∠AMH=∠BCE

∵∠BCE+∠CBE=90°

∴∠ABE+∠CBE=90°

即∠ABC=90°

∴AB是半圆O的切线

2、∵△ABC是直角三角形

∴AC=√(BC²+AB²)=5

∵∠ABC=90°，BF⊥AC(∠BFA=∠BFC=90°

∴根据射影定理：AB²=AF×AC，AF=3²/5=9/5

BF²=AF×CF=9/5×(5-9/5)=9/5×16/5

BF=12/5

∵△ABH≌△AMH（前面证明了）

∴AM=AB=3

∴MF=3-AF=6/5

∴在Rt△BFM中

BM=√（BF²+MF²)=√(12/5)²+(6/5)²=6√5/5

∵△BFM∽△BEC

∴BF/BE=BM/BC

BE=BF×BC/BM=(12/5)×4/(6√5/5)=8√5/5

Answer 2

(1)证明：连接CE,由已知可的，<ABE=<BCE，<FBE=<FCE，∴<ABF=<ACB，又∵BC为圆的直径，∴<BFC=直角，在△ABC和直角△ABF中，（<A=<A，<ABF=<ACB），△ABC和直角△ABF相似，∴<ABC=直角，∴AB是圆的切线。

Answer 3

连接EC，三角形ABM是等腰三角形，角ABM=角AMB=角EMC，角ECM=角EBC，易得AB垂直BC，那么AB是半圆O的切线。
由角平分线定理得BD:DC=AB:AC ，得BD=1.5，三角形ABD与三角形BCE相似，所以BE=4除以根号5再乘以2.