Question

求教∫√﹙x²＋1﹚dx怎么解？

根号x的平方加1的积分怎么解？急求，多谢

Answer 1

可以先分部积分：
∫√﹙x²＋1﹚dx
=x√﹙x²＋1﹚-∫xd√﹙x²＋1﹚
=x√﹙x²＋1﹚-∫x^2/√﹙x²＋1﹚dx
=x√﹙x²＋1﹚-∫(x^2+1-1)/√﹙x²＋1﹚dx
=x√﹙x²＋1﹚-∫√(x^2+1)dx+∫dx/√﹙x²＋1﹚
=x√﹙x²＋1﹚-∫√(x^2+1)dx+ln(x+√﹙x²＋1﹚
移项并除以2得：
∫√﹙x²＋1﹚dx=(1/2)x√﹙x²＋1﹚+(1/2)ln(x+√﹙x²＋1﹚+C

Answer 2

∫√﹙x²＋1﹚dx

令x=tant，dx=sec²tdt
原式=∫sect*sec²tdt
=∫sectdtant
=secttant-∫tantdsect
=secttant-∫tan²tsectdt
=secttant-∫(sec³-sect)dt
=secttant-∫sec³tdt+∫sectdt
即
原式=1/2(secttant+∫sectdt)
=1/2(secttant+ln|sect+tant|)+c
=1/2[ x√(1+x²)+ln|x+√(1+x²)|]+c

Answer 3

思路:分部积分法很有用!

=x*根号(x^2+1)-积分:xd(根号(x^2+1))
=x根号(X^2+1)-积分:x^2/根号(x^2+1)dx
=x根号(x^2+1)-积分:(x^2+1-1)/根号(x^2+1)dx
=x根号(x^2+1)-积分:根号(x^2+1)+积分:dx/根号(x^2+1)

先求:积分:dx/根号(x^2+1)
令x=tant
dx=d(tant)=sec^2tdt

原式
=积分:sec^2tdt/sect
=积分:sectdt
=积分:cost/cos^2tdx
=积分:d(sinx)/(1-sin^2x)
=1/2ln|(1+sinx)/(1-sinx)|+C
x=tant代入有:
=ln|x+根号(x^2+1)|+C

令原来的积分是Q
Q==x根号(x^2+1)-Q+积分:dx/根号(x^2+1)
2Q=x根号(x^2+1)+ln|x+根号(x^2+1)|+C
所以

Q=1/2[x根号(X+1)+ln|x+根号(x^2+1)|+C
(C 是常数)