Question

如图，Rt三角形ABC中，角ACB=90度，AC=6cm，BC=8cm，动点p从点B出发，在BA边

上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0<t<2)，连接PQ
连接AQ，CP，若AQ垂直于CP，求t的值

Answer 1

（1）t=1或；（2）；（3）证明见解析.

试题分析：（1）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时， ，当△BPQ∽△BCA时， ，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可.
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，根据△ACQ∽△CMP，得出 ，代入计算即可.
（3）过P作PD⊥AC于点D，连接DQ，BD，BD交PQ于点M，过点M作EF∥AC分别交BC，BA于E，F两点，
证明四边形PDQB是平行四边形，则点M是PQ和BD的中点，进而由得到点E为BC的中点，由得到点F为BA的中点，因此，PQ中点在△ABC的中位线上.
试题解析：（1）①当△BPQ∽△BAC时，
∵ ，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，∴，解得t=1；
②当△BPQ∽△BCA时，∵，∴ ，解得.
∴t=1或时，△BPQ与△ABC相似.
（2）如答图，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°，
∴△ACQ∽△CMP.∴.∴ ，解得：.

（3）如答图，过P作PD⊥AC于点D，连接DQ，BD，BD交PQ于点M，
则，
∵，∴PD=BQ且PD∥BQ.∴四边形PDQB是平行四边形.∴点M是PQ和BD的中点.
过点M作EF∥AC分别交BC，BA于E，F两点，
则，即点E为BC的中点.
同理，点F为BA的中点.
∴PQ中点在△ABC的中位线上.

Answer 2

（1）①当△BPQ∽△BAC时，∵BPBA=BQBC，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，∴5t10=8?4t8，∴t=1；②当△BPQ∽△BCA时，∵BPBC=BQBA，∴5t8=8?4t10，∴t=3241，∴t=1或3241时，△BPQ与△ABC相似；（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5

Answer 3

解：作PM⊥BC
∴PM//AC
∴△BPM∽△BAC
∴AB：BP=AC：PM=BC：BM
即10：5t=6：PM=8：BM
∴PM=3t，BM=4t
∴MC=8-4t
∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°
∴∠NAC=∠PCM，∠ACQ=∠PMC=90°
∴△ACQ∽△CMP
∴AC：CM=CQ：MP
∴6：(8-4t)=4t：3t
∴t=7/8

Answer 4