Question

n阶矩阵A=(aij)，其中aij=|i-j|,求|A|......

Answer 1

n阶矩阵a=(aij)n×n.其中aij=1
i.j=1
2…n。
说明a的元素全为1，它显然是对称的，而对称矩阵必定可以对角化（一般教材中均有此结论）
但是我猜提问者还会不满足，那么就展开多说几句：
如果能够证明a有n个线性无关的特征向量w1，w2，。。。wn（克赛敲不出，凑合吧），即可证明a可对角
因为假设这n个特征向量对应的特征值分别为t1，t2，。。。，tn（兰姆达敲不出，别苛责；还要注意ti中可能有相同的，本题中t1=n，t2=t3=tn=0，为什么，请往下看），则有awi=ti×wi，i=1，2，。。。，n
合并起来，就有
a(w1，w2，。。。，wn)
=（aw1，aw2，。。。，awn）
=(t1w1，t2w2，。。。，tnwn)
=（w1，w2，。。。，wn）×对角阵t
注意
首尾就是a(w1，w2，。。。，wn)=（w1，w2，。。。，wn）×对角阵t
（*）
其中对角阵t对角线上元素依次为t1，t2，。。。，tn
因为w1，w2，。。。，wn线性无关，它们组成的矩阵(w1，w2，。。。，wn)可逆，从而（*）式子两边同时左乘矩阵(w1，w2，。。。，wn)的逆矩阵，就得到
(w1，w2，。。。，wn)的逆×a×（w1，w2，。。。，wn)=对角阵t
这就说明a可以对角化
好了，闲话休提，下面就尝试求出a的特征值，为什么t1=n，t2=t3=tn=0
还有为什么a有n个线性无关的特征向量w1，w2，。。。wn，均在下面给出证明
求特征值的方法一：用e代表单位矩阵
写出特征方程|te-a|=0，求出特征值
|t-1
-1
-1
。。。
-1
-1
|
|-1
t-1
-1
。。。
-1
-1
|
|
。。。
。。。
。。。
|=0，各列都加到首列上，得到
|-1
-1
-1
。。。
t-1
-1
|
|-1
-1
-1
。。。
-1
t-1
|
|t-n
-1
-1
。。。
-1
-1
|
|t-n
t-1
-1
。。。
-1
-1
|
|
。。。
。。。
。。。
|=0，提取首列公因子t-n，得到
|t-n
-1
-1
。。。
t-1
-1
|
|t-n
-1
-1
。。。
-1
t-1
|
|1
-1
-1
。。。
-1
-1
|
|1
t-1
-1
。。。
-1
-1
|
|
。。。
。。。
。。。
|×（t-n）=0，
|1
-1
-1
。。。
t-1
-1
|
|1
-1
-1
。。。
-1
t-1
|
用首行的-1倍分别加到其下各行上，得到
|1
-1
-1
。。。
-1
-1
|
|0
t
0
。。。
0
0
|
|
。。。
。。。
。。。
|×（t-n）=0，
|0
0
0
。。。
t
0
|
|0
0
0
。。。
0
t
|
得到上三角行列式，整理得[t^(n-1)]×(t-n)=0
解之得a的特征值为n（1重），0（n-1重）
求特征值的方法二：
因为a的特殊构造，可以取巧求其特征值：a中元素全为1，
它相似于对角阵，且该对角阵上元素即为a的n个特征值，
a和该对角阵的秩相等，显然a的秩为1（直接用秩的定义：非零子式最高阶数或者通过初等行变换均可），从而对角阵的秩也为1，说明对角阵的对角元素为n-1个零和一个非零数，该数可以通过两个相似矩阵的迹（对角线元素之和）相等
得到，a的迹为n，从而对角阵上非零数是n
因此，a的n个特征值为n（1重），0（n-1重）
最后再求a的n个特征向量，并说明它们线性无关：
当t=n时，求对应n的特征向量
就是求解（ne-a）x=0
（n-1
-1
-1
。。。
-1
-1
）
（x1
）
（-1
n-1
-1
。。。
-1
-1
）
（x2
）
（
。。。
。。。
。。。
）×
（x3
）=0向量
（-1
-1
-1
。。。
n-1
-1
）
（。
）
（-1
-1
-1
。。。
-1
n-1
）
（。
）
（。
）
（xn-1
）
（xn
）
求解该方程组，也是可以利用行变换，得到一个非零解向量
我敲字太累了，以下过程（包括求出t=0所对应的特征向量，应该可以得到n-1个无关的）省略。。。
以上两组解向量（1个和n-1个）对应不同的特征值合起来也是无关的，因此。。。。

Answer 2

所求行列式 =
0 1 2 … n-2 n-1
1 0 1 … n-3 n-2
2 1 0 … n-4 n-3
… … … … …
n-2 n-3 n-4 … 0 1
n-1 n-2 n-3 … 1 0

rn-r(n-1),r(n-1)-r(n-2),…,r2-r1
0 1 2 … n-2 n-1
1 -1 -1 … -1 -1
1 1 -1 … -1 -1
… … … … …
1 1 1 … -1 -1
1 1 1 … 1 -1

c1+cn,c2+cn,…,c(n-1)+cn
n-1 n n+1 … 2n-3 n-1
0 -2 -2 … -2 -1
0 0 -2 … -2 -1
… … … … …
0 0 0 … -2 -1
0 0 0 … 0 -1
=(n-1)(-1)^(n-1)2^(n-2)