Question

高数计算定积分

过程要详细的，可以手写或word里写然后上图，不要出错，谢谢了！！

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Answer 1

第一题答案是π，第二题答案是3*(e^4)/2+1/2

Answer 2

1. 设 x = 2sint，则 dx = 2cost*dt。那么，原来的定积分就变换成：
=∫(2sint)^2 * (2cost)*(2cost) * dt，积分下限：t = 0，积分上限：t = π/2
=∫(2sint * 2cost)^2 * dt
=∫(2sint*cost)^2 * 4 * dt
=∫[sin(2t)]^2 * 4 * dt
=∫2*[sin(2t)]^2 * (2 * dt)
=∫[1 - cos(4t)] * (2 * dt)
=∫2*dt - ∫cos(4t)* (1/2) * (4 * dt)
=2t - 1/2 * ∫cos(4t)*d(4t)
=2t - 1/2 * sin(4t)
=2π - 1/2 * [sin(2π) - sin0]
=2π
2. =∫x^2 * e^(x^2) * (x * dx)，设 t = x^2，则积分下限：t = 0，积分上限：t = √2
=1/2 * ∫t * e^t * dt
=1/2 * [t * e^t - ∫e^t * dt]
=1/2 * [t * e^t - e^t]
=1/2 * (t - 1)*e^t
=1/2 * [(√2 - 1)*e^(√2) - (0 - 1)*e^0]
=1/2 * [(√2 - 1)*e^(√2) + 1]

Answer 3

1、解：设x=2sint
得：∫x²√(4-x²)dx=∫ 4sin²t*2cost*2cost dt=16∫ sin²t*cos²t dt=16∫sin²2t/4dt=4∫(1-cos4t)/2dt
=2(t-1/4*sin4t)
原式=2[(π/2-1/4*sin2π)-(0-1/4*sin4*0)]=π-1/2
2、解：∫x³e^x²dx=x²/2*e^x²-∫x*e^x²dx=x²/2*e^x²-1/2*e^x²
原始=3/2*e^4-1/2