Question

已知：如图，db⊥ac、dc⊥ad，且∠1=∠2，求证：ab⊥bc。

Answer 1

∵db⊥ac、∠1=∠2、ao=oa
∴⊿abo≌⊿aod（角边角） ∠boc=∠cod
∴bo=od oc=oc ∠boc=∠cod ∠abo=∠ado
∴⊿boc≌⊿cod (边角边）
∴∠obc=∠odc 而 ∠abo=∠ado、dc⊥ad
∴ab⊥bc

Answer 2

因为 db⊥ac、dc⊥ad

所以 ∠AOB=∠AOD=90°，∠ADC=90°
因为 ∠1=∠2，OA=OA
所以 三角形AOB全等三角形AOD
所以 AB=AD
因为 ∠1=∠2，CA=CA

所以 三角形ABC全等三角形ADC
所以 ∠ABC=∠ADC=90°
所以 ab⊥bc。

Answer 3

在Rt△AOB和Rt△AOD中，有∠1=∠2，AO=AO，所以Rt△AOB≌Rt△AOD，所以OB=OD，AB=AD，所以有AC垂直平分BD，而C在BC垂直平分线上，所以有BC=CD（线段垂直平分线上的点到该线段两端点距离相等），由此可知△ABD和△CBD均是等腰三角形，由AB=AD，BC=CD，可得∠ABD=∠ADB，∠CBD=∠CDB，而∠ADB+∠CDB=90°，所以∠ABD+∠CBD=90º，所以AB⊥BC。