Question

（2011?北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF

（2011?北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=12∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB=5，sin∠CBF=55，求BC和BF的长．

Answer 1

（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，
∴∠1=

1

2

∠CAB．
∵∠CBF=

1

2

∠CAB，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线．

（2）解：过点C作CG⊥AB于G．
∵sin∠CBF=

5

5

，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=

5

5

，
∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB?sin∠1=

5

，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2

5

，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=

AB2?BE2

=2

5

，
∴sin∠2=

AE

AB

=

2 天堂蜘蛛111 推荐于2018-03-05 · TA获得超过7万个赞 知道大有可为答主 回答量：1.9万 采纳率：81% 帮助的人：5551万 我也去答题访问个人页 关注 (1)证明：连接AE 因为AB是圆O的直径 所以角AEB=90度 所以AE是三角形BAC的高线 因为AB=AC 所以三角形BAC是等腰三角形 所以AE是等腰三角形BAC的高线，角平分线，中线 所以角BAE=角CAE=1/2角BAC BE=CE=1/2BC 因为角CBF=1/2角BAC 所以角BAE=角CBF 因为角AEB+角ABE+角BAE=180度 所以角BAE+角ABE=90度 所以角ABE+角CBF=角ABF=90度 所以直径AB垂直BF 所以BF是圆O的切线 （2）解：过点C作CM垂直BF于M 所以角CMB=角CMF=90度 所以三角形CMB是直角三角形 所以sin角CBF=CM/BC BC^2=CM^2+BM^2 因为角CBF=角BAE（已证） sin角CBF=3/5 所以sin角BAE=3/5 在直角三角形AEB中，角AEB=90度 所以sin角BAE=BE/AB=3/5 因为AB=5 所以BE=3 因为BE=1/2BC（已证） 所以BC=6 CM=18/5 BM=24/5 因为角ABF=90度（已证） 所以角ABF=角CMF=90度 所以CM平行AB 所以CM/AB=MF/BF=18/25 因为BF=MF+BM 所以BM/BF=7/25 所以BF=120/7 综上所述：BC的长是6 ，BF是120/7 一二三四呵呵哒 2018-03-05 · TA获得超过579个赞 知道小有建树答主 回答量：346 采纳率：84% 帮助的人：44.5万 我也去答题访问个人页 关注 第一个：假设∠ABC=X，因为AB=AC，所以∠ACB=X 那么∠BAC=180-2X 因为∠CBF=1/2∠CAB，那么∠CBF=1/2（180-2X）=90-X 所以∠CBF+∠ABC=90-X+X=90度，也就是AB垂直于BF 因为AB是直径，所以BF是切线。 第二个，sin∠CBF=55？这个我没看懂，sin值不会大于1的 收起 更多回答（1） 推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2012-01-29 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E点F在AC的延长线上,且∠CBF=1/2∠CAB. 162 2011-04-14 如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的○o与AC交于点D,过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F。 当AB=5,AC=8 28 2017-05-17 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证 1 2014-05-19 如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上， 3 2012-10-31 如图,△ABC中, AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,F连接BD交OF于点E. 12 2013-06-07 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点F，交BA的延长线于点E 3 2013-02-12 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F． 3 2016-09-17 已知：如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O与BC交于点D,DE⊥AB,垂足为E,ED的延长线与AC的延长线交于点F 3 更多类似问题 > 为你推荐： 特别推荐 华强北的二手手机是否靠谱？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 电动车多次降价，品质是否有保障？ “网络厕所”会造成什么影响？ 为你推荐 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 帮帮团 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2024Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式

Answer 2

(1)证明：连接AE
因为AB是圆O的直径
所以角AEB=90度
所以AE是三角形BAC的高线
因为AB=AC
所以三角形BAC是等腰三角形
所以AE是等腰三角形BAC的高线，角平分线，中线
所以角BAE=角CAE=1/2角BAC
BE=CE=1/2BC
因为角CBF=1/2角BAC
所以角BAE=角CBF
因为角AEB+角ABE+角BAE=180度
所以角BAE+角ABE=90度
所以角ABE+角CBF=角ABF=90度
所以直径AB垂直BF
所以BF是圆O的切线
（2）解：过点C作CM垂直BF于M
所以角CMB=角CMF=90度
所以三角形CMB是直角三角形
所以sin角CBF=CM/BC
BC^2=CM^2+BM^2
因为角CBF=角BAE（已证）
sin角CBF=3/5
所以sin角BAE=3/5
在直角三角形AEB中，角AEB=90度
所以sin角BAE=BE/AB=3/5
因为AB=5
所以BE=3
因为BE=1/2BC（已证）
所以BC=6
CM=18/5
BM=24/5
因为角ABF=90度（已证）
所以角ABF=角CMF=90度
所以CM平行AB
所以CM/AB=MF/BF=18/25
因为BF=MF+BM
所以BM/BF=7/25
所以BF=120/7
综上所述：BC的长是6 ，BF是120/7

Answer 3

第一个：假设∠ABC=X，因为AB=AC，所以∠ACB=X
那么∠BAC=180-2X
因为∠CBF=1/2∠CAB，那么∠CBF=1/2（180-2X）=90-X
所以∠CBF+∠ABC=90-X+X=90度，也就是AB垂直于BF
因为AB是直径，所以BF是切线。
第二个，sin∠CBF=55？这个我没看懂，sin值不会大于1的