Question

如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O过点B、C，且交边AB、AC于点E、F，已知∠A=∠ABO，连接OE、OF、OB．（1）求

如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O过点B、C，且交边AB、AC于点E、F，已知∠A=∠ABO，连接OE、OF、OB．（1）求证：四边形AEOF为菱形；（2）若BO平分∠ABC，求证：BE=BC．

Answer 1

证明：（1）连接AO并延长AO交BC于M过O作OQ⊥AB于Q，OR⊥AC于R，连接OC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABO=∠ACO，
∵∠BAC=∠ABO，
∴∠BAC=∠ABO=∠ACO，
∵OE=OB，OC=OF，
∴∠ABO=∠OEB，∠ACO=∠OFC，
∴∠BAC=∠OEB=∠OFC，
∴AE∥OF，AF∥OE，
∴四边形AEOF是平行四边形，
∵OE=OF，
∴平行四边形AEOF为菱形．

（2）∵圆O过B、C，
∴O在BC的垂直平分线上，
∵AB=AC，
∴AM⊥BC，
∵BO平分∠ABC，OQ⊥AB，
∴OQ=OM，
∴由勾股定理得：BM=BQ，
由垂径定理得：BE=BC．