Question

已知二次函数f（x）=x2-mx+m-1．m∈R  ...

已知二次函数f（x）=x2-mx+m-1．m∈R （1）函数f（x）在区间（-1，1）上的最小值为g（m），求g（m）的解析式； （2）求（1）中g（m）的最大值；（3）若函数y=|f（x）|在[2，4]上单调递增，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）由题意得：对称轴x=-

?m

2

=

m

2

，
①当x=

m

2

≤-1，即m≤-2时，
g（m）=f（x）_最小=f（-1）=1+m+m-1=2m；
②-1＜

m

2

＜1，即-2＜m＜2时，
g（m）=f（x）_最小=f（

m

2

）=(

m

2

)2-m?

m

2

+m-1=-

m2

4

+m-1；
③当

m

2

≥1，即m≥2时，
g（m）=f（x）_最小=f（1）=1-m+m-1=0；
综合①②③得：
g（m）=

2m，               (m≤?2) ? m2 4 +m?1，(?2＜m＜2) 0，                  (m≥2)

．
（2）当m≤-2时，g（m）_最大=-4，
当-2＜m＜2时，g（m）=-

1

4

（m-2）²＜0，无最大值；
当m≥2时，g（m）=0，
∴g（m）的最大值是：0．
（3）由题意得：

f(2)≥0 m 2 ＜2

，
解得：m≤3．
或

m 2 ≥4 f(2)≤0 f(4)＜0

，解得：m≥8．
∴m的范围是：（-∞，3]∪[8，+∞）．