Question

设P（X）G(X)都是f(x)上的不可约多项式。证明：若 p(x)整除g(x),则p(x)=cg(x),这里c(不为0)=f

Answer 1

设p(x)、g(x)都是F[x]上的不可约多项式。证明：若 p(x)整除g(x)，则p(x)=c*g(x)，这里c∈F，c≠0。

证：
根据不可约多项式的定义，p(x)、g(x)都是非零多项式。
由p(x)|g(x)，根据整除的定义，存在多项式q(x)∈F[x]，使得g(x)=q(x)*p(x)。若q(x)不为常数，则g(x)可约（参见可约与不可约的定义），这与已知条件矛盾。故q(x)为常数，记为c，由q(x)∈F[x]知c∈F。若c为0，则g(x)=0，矛盾。所以c≠0。证毕。