Question

数学课上,老师给出了如下问题:如图1,在正三角形ABC中,M是BC的边（不含端点B、c)上任意一点，P是边BC延长线

上一
点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证AM=MN
（2）若将（1）中的点M移到BC的延长线上如图2，结论AM=AN是否成立，试说明理由。

Answer 1

(1)证明:在BA上截取BD=BM,连接DM,则:
AD=MC;⊿DBM为等边三角形,∠ADM=120º.
MN平分∠ACB的外角,则∠CMN=120º;
∵∠DAM+∠BMA=180º-∠B=120º;
∠CMN+∠BMA=180º-∠AMN=120º.
∴∠DAM=∠CMN;又AD=MC,∠ADM=∠MCN=120º.
故:⊿ADM≌⊿MCN(ASA),AM=MN.
(2)点M在BC延长线上时,结论AM=MN仍成立.
证明:延长BA到D,使BD=BM,连接DM,则:AD=CM;⊿DBM为等边三角形.
∴∠D=60º;又CN平分∠ACP,则∠MCN=60º=∠D;
又∠DAM=∠B+∠CMA=60º+∠CMA;
∠CMN=∠AMN+∠CMA=60º+∠CMA.
∴∠DAM=∠CMN.
故:⊿ADM≌⊿MCN(ASA),AM=MN.