Question

数学奥数，急求回答！！！

⑶借题发挥：如图，在正方形ABCD中，AB=6，若折叠该正方形，
使得点D落在AB边上的点E处，折痕FG交AD于点F，交BC
于点G，边DC折叠后EH与BC交于点M，设AE=a，试探究
△EBM的周长与a的取值无关．

Answer 1

可以证明，△EBM的周长等于12，因而与a无关。
方法如下：（只简单叙说）
由于是折叠图形，容易证明EF=FD
故AF=6-EF
在Rt△AEF中，利用勾股定理，可求得：
EF=3+a²/12
AF=3-a²/12
又，容易证明Rt△AEF与Rt△BME相似，且EB=6-a，根据相似比相等，再加上分解因式，可以求出
EM=（36+a²）/6+a
BM=12a/(6+a)
剩下的，请自己完成吧

Answer 2

解：
设AF=x 则EF=6-x
(6-x)²=a²+x²
x=(36-a²)/12
∵∠BME=90°-∠MEB
∠FEA=90°-∠MEB
∴∠BME=∠FEA
∴RtΔAEF∽RtΔEBM
∵Rt△EAF的周长是6+a
ΔEBM周长:ΔAEF周长=(6-a)/[（36-a²）/12]
ΔEBM周长=12×ΔAEF周长×(6-a)÷(36-a^2)
=[12(6+a)](6-a)/(36-a^2)
=12×（36-a²）÷（36-a²）
=12
∴△EBM的周长与a的取值无关 。

Answer 3

因为图形是折叠所得
所以 ΔAEF周长=a+6
设AF=x 则EF=6-x
(6-x)^2=a^2+x^2
-12x+36=a^2
x=(36-a^2)/12
ΔAEF∽ΔEBM
ΔEBM周长:ΔAEF周长=(6-a)/(3-a^2/12)
ΔEBM周长=12ΔAEF周长*(6-a)/(36-a^2)
=[12(6-a)](6+a)/(36-a^2)
=12
△EBM的周长与a的取值无关

Answer 4

无关