Question

数学课上，张老师出示了问题

如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；

Answer 1

都是成立的。
因为无论哪种情况都有角AEF=角ACF=90度，所以A,E,C,F四点共圆

所以角EAF=角FCG=45度=角ACB=角AFE，
等角对等弧对等边，所以AE=EF始终成立
①成立
在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．
∴BM＝BE．∴∠BME＝45°.∴∠AME＝135°．
∵CF是外角平分线，
∴∠DCF＝45°.∴∠ECF＝135°．
∴∠AME＝∠ECF．
∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∠AEB＋CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF．
在△AME和 △BCF中
∠EAM=∠EHC
AM=EC
∠AME=∠ECF
∴△AME≌△BCF（ASA）．
∴AE＝EF．
②成立
在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．
∴BN＝BE．
∴∠ENB＝∠FCE＝45°.
∴∠ANE=∠CEF=135`
四边形ABCD是正方形，
∴AD‖BE．
∴∠DAE＝∠BEA．
∴∠NAE＝∠CEF．
在△ANE和△ECF中
∠ANE=∠CEF
AN=CE
∠NAE=∠FCE
∴△ANE≌△ECF（ASA）．
∴AE＝EF．

Answer 2

时间不足，只能截图了。