Question

f(x)=(1/x)-x单调性(1)判断函数在(0,+无穷)上的单调性并证明(2)求证函数在[1,2)上值域

Answer 1

1·减函数 证明：设X1，X2∈(0,+无穷) 且X1＜X2 则f(x1)-f(x2)=1/x1 -x1 -1/x2 -x2 化简得
（x2-x1)(1+1/x1+x2) 应为X1，X2∈(0,+无穷) 且X1＜X2 所以 x2-x1＞0 1+1/x1+x2＞0
即x越大 y越小 所以为减函数
2·由1的 当x=1时 y最大 当x=2时，y最小 所以值域为y∈(-3/2,0]

Answer 2

(1)f(x)在区间(0,+∞)上单调递减
　　证明：令任意x1>x2>0
　　∴f(x1)-f(x2)=[(1/x1)-x1]-[(1/x2)-x2]
　　=(1/x1)-x1-(1/x2)+x2
　　=(x2-x1)/x1x2+(x2-x1)
　　∵x2-x1<0，x1x2>0
　　∴f(x1)-f(x2)<0
　　∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递减

(2)解：∵f(x)在区间(0,+∞)上单调递减
　　又1≤x<2
　∴①f(x)≤1/1-1=0
　　②f(x)>1/2-2=-3/2
　综合①②得：-3/2<x≤0
∴f(x)在[1,2)上值域为：(-3/2，0]