Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边，在△ABC的外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为____

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边，在△ABC的外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为__________。

Answer 1

答案为4或2 或 分情况讨论，①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC．分别画图，并求出BD． 解：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC， ∵∠DAC=90°，且AD=AC， ∴BD=BA+AD=2+2=4； ②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD， 连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E． ∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°， ∴∠DCE=45°， 又∵DE⊥CE， ∴∠DEC=90°， ∴∠CDE=45°， ∴CE=DE=2× = ， 在Rt△BAC中，BC= ， ∴BD= ③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC， ∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2， ∴AD=DC=ACsin45°=2× = ， 又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形， ∴∠ACB=∠ACD=45°， ∴∠BCD=90°， 又∵在Rt△ABC中，BC= ， ∴BD= ． 故BD的长等于4或2 或