Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°。（1）判断CD与⊙O

如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°。（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值。

Answer 1

（1）CD与⊙O相切，理由见解析（2）

解：（1）连接BD，OD， ∵AB是直径，∴∠ADB=90°。 ∵∠ABD=∠E=45°，∴∠DAB=45°，则AD=BD。 ∴△ABD是等腰直角三角形。∴OD⊥AB。 又∵DC∥AB，∴OD⊥DC， ∴CD与⊙O相切。 （2）过点O作OF⊥AE，连接OE， 则AF= AE= ×10=5。 ∵OA=OE，∴∠AOF= ∠AOE。 ∵∠ADE= ∠AOE，∴∠ADE=∠AOF。 在Rt△AOF中，sin∠AOF= ， ∴sin∠ADE= sin∠AOF = 。 （1）连接OD，BD，由AB为直径，∠AED=45°，证得△ABD是等腰直角三角形，即AD=BD， 然后由等腰三角形的性质，可得OD⊥AB，又由四边形ABCD是平行四边形，即可证得OD⊥CD，即可 证得CD与⊙O相切。 （2）过点O作OF⊥AE，连接OE，由垂径定理可得AF=6，∠AOF= ∠AOE，又由圆周角定理 可得∠ADE= ∠AOE，从而证得∠AOF=∠ADE，然后在Rt△AOF中，求得sin∠AOF的值，即可求得 答案。