Question

如图，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为

如图，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为 .

Answer 1

分两步分析： （1）若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对称点P 1 ，连接P 1 Q，交BD于点K 1 。 由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得 P 1 K 1 =" P" K 1 ，P 1 K=PK。 由三角形两边之和大于第三边的性质，得P 1 K＋QK＞P 1 Q= P 1 K 1 ＋Q K 1 =" P" K 1 ＋Q K 1 。 ∴此时的K 1 就是使PK+QK最小的位置。 （2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P 1 在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P 1 总在AB上。 因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P 1 Q⊥AB时P 1 Q最短。 过点A作AQ 1 ⊥DC于点Q 1 。∵菱形ABCD，∴∠ADC="∠ABC=60°" ，∴∠DAQ 1 =30°。 又∵AD=AB=4，∴P 1 Q=AQ 1 =AD·cos∠DAQ 1 = AD·cos30°= 。 综上所述，PK+QK的最小值为 。