Question

一道数学题，要求，只能用等腰三角形·等边三角形性质，30·60·90的直角三角形以及全等

已知P在等边三角形ABC，BC边上的反向延长线上时，以点P为顶点按顺时针方向作∠APQ=60°，角的另一边PQ交△ABC的外角∠ACD的平分线CE所在的直线于点Q。设AQ与PC相交于点F。延长AB交PQ于点G，若FC=4分之15，CQ=6，求线段BG的长
只能用初三轴对称及初二、初一的知识哦！！！

Answer 1

◆本题仅仅用初二的知识是完全可以解决的,重点考查三角形全等的知识.

解:∵∠ACD=180º-∠ACB=120º;CE平分∠ACD.

∴∠ACE=60º,∠ACQ=120º;∠PCQ=∠PCA=60º.

作PM⊥AC于M,PN⊥CQ的延长线于N,则PM=PN.

∵∠PMC+∠PNC=180º.

∴∠MPN+∠MCQ=180º,∠MPN=180º-∠MCQ=60º.

则:∠MPN=∠APQ=60º,得:∠APM=∠QPN;又PM=PN,∠PMA=∠PNQ=90º.

∴⊿PMA≌⊿PNQ(ASA),PA=PQ.故⊿PAQ为等边三角形.

∵∠PAQ=∠BAC=60º.

∴∠PAB=∠QAC;又AP=AQ,AB=AC.

∴⊿PAB≌⊿QAC(SAS),BP=CQ=6.

∵∠QPF+∠APB=60º; 

   ∠PAB+∠APB=∠ABC=60º.

∴∠QPF=∠PAB;

又PQ=AP;∠PQF=∠APG=60º.

∴⊿PQF≌⊿APG(ASA),PF=AG.

设BF=X,则:AG=PF=PB+BF=6+X; AB=BC=BF+FC=X+15/4.

所以: BG=AG-AB=(6+X)-(X+15/4)=6-15/4=9/4.

Answer 2

①∠APQ=60°=∠ACE,
∴A,P,C,Q四点共圆，
∴∠PAQ=∠QCD=60°，
∴△APQ是等边三角形。
以C为圆心，CQ为半径画弧交CD于R,连QR.则△CQR是等边三角形。
∴△PQR≌△AQC(AAS),
∴AC=PR=PC+CQ.
②仿①，P,Q,C,A四点共圆，PC-CQ=AC.
△QCF∽△PCA,
∴CF/CA=CQ/CP,
FC=15/4，CQ=6,
∴6AC=(15/4)(AC+6),(9/4)AC=90/4，AC=10.
由CE∥AB得BG/CQ=PB/PC=(PC-AC)/PC=CQ/PC,
∴CF/CA=BG/CQ,
∴BG=CQ*CF/CA=(90/4)/10=9/4.

追问

对不起啊，图我补上了，请你再答一遍好吗？谢谢

Answer 3

①∠APQ=60°=∠ACE,
∴A,P,C,Q四点共圆，
∴∠PAQ=∠QCD=60°，
∴△APQ是等边三角形。
以C为圆心，CQ为半径画弧交CD于R,连QR.则△CQR是等边三角形。
∴△PQR≌△AQC(AAS),
∴AC=PR=PC+CQ.

Answer 4

①∠APQ=60°=∠ACE,
∴A,P,C,Q四点共圆，
∴∠PAQ=∠QCD=60°，
∴△APQ是等边三角形。
以C为圆心，CQ为半径画弧交CD于R,连QR.则△CQR是等边三角形。
∴△PQR≌△AQC(AAS),
∴AC=PR=PC+CQ.
②仿①，P,Q,C,A四点共圆，PC-CQ=AC.
△QCF∽△PCA,
∴CF/CA=CQ/CP,
FC=15/4，CQ=6,
∴6AC=(15/4)(AC+6),(9/4)AC=90/4，AC=10.
由CE∥AB得BG/CQ=PB/PC=(PC-AC)/PC=CQ/PC,
∴CF/CA=BG/CQ,
∴BG=CQ*CF/CA=(90/4)/10=9/4.①∠APQ=60°=∠ACE,
∴A,P,C,Q四点共圆，
∴∠PAQ=∠QCD=60°，
∴△APQ是等边三角形。
以C为圆心，CQ为半径画弧交CD于R,连QR.则△CQR是等边三角形。
∴△PQR≌△AQC(AAS),
∴AC=PR=PC+CQ.
②仿①，P,Q,C,A四点共圆，PC-CQ=AC.
△QCF∽△PCA,
∴CF/CA=CQ/CP,
FC=15/4，CQ=6,
∴6AC=(15/4)(AC+6),(9/4)AC=90/4，AC=10.
由CE∥AB得BG/CQ=PB/PC=(PC-AC)/PC=CQ/PC,
∴CF/CA=BG/CQ,
∴BG=CQ*CF/CA=(90/4)/10=9/4.

Answer 5

①∠APQ=60°=∠ACE,
∴A,P,C,Q四点共圆，
∴∠PAQ=∠QCD=60°，
∴△APQ是等边三角形。
以C为圆心，CQ为半径画弧交CD于R,连QR.则△CQR是等边三角形。
∴△PQR≌△AQC(AAS),
∴AC=PR=PC+CQ.
②仿①，P,Q,C,A四点共圆，PC-CQ=AC.
△QCF∽△PCA,
∴CF/CA=CQ/CP,
FC=15/4，CQ=6,
∴6AC=(15/4)(AC+6),(9/4)AC=90/4，AC=10.
由CE∥AB得BG/CQ=PB/PC=(PC-AC)/PC=CQ/PC,
∴CF/CA=BG/CQ,
∴BG=CQ*CF/CA=(90/4)/10=9/4.

Answer 6

解：选择（1）进行证明．
证明：过点E作ED∥BC交AC于点D，
∴∠B=∠AED，
∵EG∥AC，△ABC是直角三角形，
∴四边形CDEG是矩形，
∴CD=EG，∠CDE=90°，
∴∠ADE=90°，
∵FH∥AC，
∴∠FHB=∠C=90°，
∴∠ADE=∠FHB=90°，
在△FBH与△AED中，∠ADE=∠FHB=90°∠B=∠AEDAE=BF​，
∴△FBH≌△AED（AAS），
∴FH=AD，
∴AC=AD+CD=FH+EG，
即EG+FH=AC．

Answer 7

①∠APQ=60°=∠ACE,
∴A,P,C,Q四点共圆，
∴∠PAQ=∠QCD=60°，
∴△APQ是等边三角形。
以C为圆心，CQ为半径画弧交CD于R,连QR.则△CQR是等边三角形。
∴△PQR≌△AQC(AAS),
∴AC=PR=PC+CQ.
②仿①，P,Q,C,A四点共圆，PC-CQ=AC.
△QCF∽△PCA,
∴CF/CA=CQ/CP,
FC=15/4，CQ=6,
∴6AC=(15/4)(AC+6),(9/4)AC=90/4，AC=10.
由CE∥AB得BG/CQ=PB/PC=(PC-AC)/PC=CQ/PC,
∴CF/CA=BG/CQ,
∴BG=CQ*CF/CA=(90/4)/10=9/4.①∠APQ=60°=∠ACE,
∴A,P,C,Q四点共圆，
∴∠PAQ=∠QCD=60°，
∴△APQ是等边三角形。
以C为圆心，CQ为半径画弧交CD于R,连QR.则△CQR是等边三角形。
∴△PQR≌△AQC(AAS),
∴AC=PR=PC+CQ.
②仿①，P,Q,C,A四点共圆，PC-CQ=AC.
△QCF∽△PCA,
∴CF/CA=CQ/CP,
FC=15/4，CQ=6,
∴6AC=(15/4)(AC+6),(9/4)AC=90/4，AC=10.
由CE∥AB得BG/CQ=PB/PC=(PC-AC)/PC=CQ/PC,
∴CF/CA=BG/CQ,
∴BG=9/4.