Question

已知如图抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）与y轴交于C点，顶点为D．（1）求出A、B、C、D四

已知如图抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）与y轴交于C点，顶点为D．（1）求出A、B、C、D四点坐标；（2）判断△AOC与△BCD是否相似，并说明理由；（3）过C作直线CE平行x轴交抛物线另一个交点为E，动点F从C点开始，以每秒2个单位的速度沿CF方向在射线CE上运动，动点G从B点开始以每秒4个单位速度沿BC方向在射线BC上运动．设动点F、G同时出发运动时间为t，问在抛物线上是否存在点H；使以C、G、H、F四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出相应t的值和H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）令y=0，即x²-2x-3=0，则x=3，x=-1，
∴A（-1，0），B（3，0）；
令x=0，即y=-3，
∴C（0，-3）；
由于y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
故顶点D（1，-4）．

（2）相似，理由如下：
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），D（1，-4），
∴OA=1，OC=3，AC=

10

；
CD=

2

，BC=3

2

，BD=2

5

；
∴

CD

OA

＝

BC

OC

＝

BD

AC

=

2

，
故△AOC∽△DCB．

（3）分别过C、F、G作FG、CG、CF的平行线，三线交于H₁、H₂、H₃（如图）；
则四边形CFGH₁、四边形CFH₂G、四边形H₃FGC都是平行四边形；
过G作GM⊥x轴于M；
由于OB=OC=3，则∠OBC=45°；
易知BG=4t，则BM=MG=2

2

t，OM=3-2

2

t；
故G（3-2

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