Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D为CA延长线上一点，DF⊥BC于F，交AB于E．求证：△ADE是等腰三角形

如图，在△ABC中，AB=AC，D为CA延长线上一点，DF⊥BC于F，交AB于E．求证：△ADE是等腰三角形．

Answer 1

解答：证明：
证法一：
过点A作AG⊥BC于G，
∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵DF⊥BC，
∴AG∥DF，
∴∠1=∠AED，∠2=∠D，
∴∠AED=∠D，
∴AE=AD，
即△ADE是等腰三角形；
证法二：
在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角），
∵DF⊥BC于F，
∴∠C+∠D=90°，∠B+∠BEF=90°，
∴∠D=∠BEF（等角的余角相等），
又∵∠BEF=∠AED（对顶角相等），
∴∠D=∠AED（等量代换），
∴AD=AE（等角对等边）
∴△ADE是等腰三角形．