Question

若函数f（x）=-1beax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（　　）A．4B

若函数f（x）=-1beax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（　　）A．4B．22C．2D．2

Answer 1

函数的f（x）的导数f′（x）=?

a

b

eax，
在x=0处的切线斜率k=f′（0）=?

a

b

，
∵f（0）=-

1

b

，∴切点坐标为（0，-

1

b

），
则在x=0处的切线方程为y+

1

b

=?

a

b

x，
即切线方程为ax+by+1=0，
∵切线与圆x²+y²=1相切，
∴圆心到切线的距离d=

|1|

a2+b2

＝1，
即a²+b²=1，
∵a＞0，b＞0，
∴设a=sinx，则b=cosx，0＜x＜

π

2

，
则a+b=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∵0＜x＜

π

2

，
∴

π

4

＜x+

π

4

＜

3π

2

，
即当x+

π

4

=

π

2

时，a+b取得最大值为

2

，
故选：D