已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d （a、b、c∈R），且函数f（x）的图象关于原点对称，其图象x=3处的切线方程
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a、b、c∈R），且函数f（x）的图象关于原点对称，其图象x=3处的切线方程为8x-y-18=0．（1）求f（x）的解析式；（...
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d （a、b、c∈R），且函数f（x）的图象关于原点对称，其图象x=3处的切线方程为8x-y-18=0．（1）求f（x）的解析式；（2）是否存在区间[a，b]，使得函数f（x）的定义域和值域为[a，b]？若存在，求出这样的一个区间[a，b]；若不存在，则说明理由；（3）若数列{an}满足：a1≥1，an+1≥f′（an+1），试比较11+a1+11+a2+11+a3+…+11+an与1的大小关系，并说明理由．
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（1）∵f （x）的图象关于原点对称，∴f （-x）+f （x）=0恒成立，
即2bx2+2d≡0，∴b=d=0．
又f （x）的图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0，即y-6=8（x-3），
∴f'（3）=8，且f （3）=6．
而f （x）=ax3+cx，∴f'（x）=3ax2+c．
解得
，
故所求的解析式为f （x）=
x3?x．
（2）由
解得x=0或x=±
．
又由f'（x）=0，得x=±1，
且当x∈[?
，?1)或x∈(1，
]时，f'（x）＞0；
当x∈（-1，1）时，f'（x）＜0．
所以，函数f （x）在[-
，-1]和[1，
]上分别递增；在[-1，1]上递减．
于是，函数f （x）在[-
，
]上的极大值和极小值分别为f （-1）=
，f （1）=-
．
而-
＜-
＜
＜
，
故存在这样的区间[a，b]，其中满足条件的一个区间为[-
，
]．
（3）由（2）知f'（x）=x2-1，所以，有an+1≥（an+1）2-1．
而函数y=（x+1）2-1=x2+2x在[1，+∞）上单调递增，
所以，由a1≥1，可知a2≥（a1+1）2-1≥22-1；
进而可得a3≥（a2+1）2-1≥23-1；…
由此猜想an≥2n-1．
下列用数学归纳法给出证明：
①当n=1时，a1≥1=21-1，结论成立．
②假设n=k时有ak≥2k-1，
则当n=k+1时，由于函数f （x）=x2+2x在[1，+∞）上递增，可知，
ak+1≥（ak+1）2-1≥（2k-1+1）2-1=22k-1≥2k+1-1，
即n=k+1时，结论也成立．
所以，对任意的n∈N*都有an≥2n-1，即1+an≥2n，
＜
从而
+
即2bx2+2d≡0，∴b=d=0．
又f （x）的图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0，即y-6=8（x-3），
∴f'（3）=8，且f （3）=6．
而f （x）=ax3+cx，∴f'（x）=3ax2+c．
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故所求的解析式为f （x）=
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（2）由
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又由f'（x）=0，得x=±1，
且当x∈[?
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当x∈（-1，1）时，f'（x）＜0．
所以，函数f （x）在[-
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于是，函数f （x）在[-
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而-
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故存在这样的区间[a，b]，其中满足条件的一个区间为[-
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（3）由（2）知f'（x）=x2-1，所以，有an+1≥（an+1）2-1．
而函数y=（x+1）2-1=x2+2x在[1，+∞）上单调递增，
所以，由a1≥1，可知a2≥（a1+1）2-1≥22-1；
进而可得a3≥（a2+1）2-1≥23-1；…
由此猜想an≥2n-1．
下列用数学归纳法给出证明：
①当n=1时，a1≥1=21-1，结论成立．
②假设n=k时有ak≥2k-1，
则当n=k+1时，由于函数f （x）=x2+2x在[1，+∞）上递增，可知，
ak+1≥（ak+1）2-1≥（2k-1+1）2-1=22k-1≥2k+1-1，
即n=k+1时，结论也成立．
所以，对任意的n∈N*都有an≥2n-1，即1+an≥2n，
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| 1+an |
| 1 |
| 2n |
从而
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| 1+a1 |
| 1 |
| 1+a2 |
