Question

急，在常微分方程里遇到的求不定积分问题？？？？？ 我这有两种方法，如下图，为什么第一种是错的呢？

Answer 1

我反而觉得第一种是对的。不定积分的答案只包括积分号内的部分，与外部无关
x³∫ x⁻⁷ dx，x⁻⁷是被积函数，所以应该对x⁻⁷的原函数加上C
即= x³[- 1/(6x⁶) + C]，而外面的x³对于这个积分来说只会被视为是常数
为避免混淆，最好表示为y³∫ x⁻⁷ dx，即结果是y³[- 1/(6x⁶) + C]，y是常数
另外，对结果求导也可验算：
第一种：d/dx [- y³/(6x⁶) + Cy³] = y³/x⁷
而第二种，常量x和积分结果里的变量x混合了。

Answer 2

1 这个图实际上是在直接解方程遇到困难时，采取的一个估计手段。每一个箭头表示，如果方程解的相图经过箭头起点处，它在这一点的导数，大小和方向将如箭头所示。比如，起点是(x1,x2)的箭头，恰好表示一个向量(x2,sinx1)。通过连接这些箭头，可以估计出解（曲线）的一些性质。
如果是一条具体的曲线f(x1,x2)=0,它满足原来的微分方程，那么它已经表示原方程的一组解。
从图中注释来看，原来的方程是一种单摆方程，不好直接求解，因此用这种图来估计。
2 （这个我不确定）球摆大致是一个杆，一端固定在一个可自由转动的轴上，另一端固定一小球。

Answer 3

……第一个和第二个有什么区别啊，这里和C(x)的那种情况可不一样，因为C和x之间没有信赖关系，整个式子又只有C一个任意常数，所以C是任意常数，Cx^3也依旧是任意常数啊。