Question

等腰△ABC中,∠ACB=90°,D为AC上一点,E为BC外一点,DE=BE,且DE⊥BE,连CE,求证:CE平行于AB

Answer 1

连接BD，因为DE⊥BE，∠ACB=90°，所以C，E，B，D四点共圆，所以∠ECB=∠EDB
因为DE=BE，所以△DEB为等腰直角△，∠EDB=45°，所以∠ECB=45°
又因为△ABC为等腰三角形，且,∠ACB=90°，所以∠CBA=45°
所以∠CBA=∠ECB=45°，所以CE∥AB

Answer 2

证：设DE与CB交于O点，过E点作EF⊥CE交BC于F，已知DE=BE，∠ACB=90°。
∴∠CEF=∠DEB=90°，∠DEF=∠DEF，则∠CED=∠BEF
由外角定理得∠COE=∠CDE+∠ACB=∠CDE+90°=∠CBE+∠DEB，∴∠CDE=∠CBE
∴△CED≌△FEB(ASA)
∴CE=FE
又∠CEF=90°，则△CEF为等腰三角形，∴∠ECF=45°
由题意知△ABC为等腰三角形，则∠CBA=45°
∴∠CBA=∠ECF
∴CE∥AB