Question

设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA．求证：∠PAB=∠PCB

Answer 1

分析：根据已知作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使PE=AD=BC，利用AD∥EP，AD∥BC，进而得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，
得出AEBP共圆，即可得出答案．
解答：证明：作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使PE=AD=BC，
∵AD∥EP，AD∥BC．
∴四边形AEPD是平行四边形，四边形PEBC是平行四边形，
∴AE∥DP，BE∥PC，
∴∠ABP=∠ADP=∠AEP，
∴AEBP共圆（一边所对两角相等）．
∴∠BAP=∠BEP=∠BCP，
∴∠PAB=∠PCB．

Answer 2

过点C,B分别做PD,PA的平行线，交与点E，连PE,且与BC相交于点O.易证平行四边形PDCE,APEB.，同时，△ADP≌△BCE,∠DAP=∠CBE=∠DCP=∠CPE,再证△POC∽△BOE,得PO：BO=OC：OE，所以PO：OC=OB：OE证得△BOP∽△EOC，所以得∠BPO=∠ECO又由△ADP≌△BCE，得∠ECO=∠ADP，由平行四边形APEB得PE∥AB，所以∠ABP=∠BPO，所以∠ABP=∠ADP。证毕