Question

△ABC是圆O内接三角形，圆O的直径BD交AC于点E，AF⊥BD于F，延AF交BC于G，求证AB²=BG×BC

Answer 1

证明：延长AG交圆于H点
因AF⊥BD
所以OB⊥AH
根据垂直于弦的半径平分弦和弦所对的弧知：弧AB=弧BH
所以∠BAH=∠ACB
即∠BAG=∠ACB
因∠AGB为△AGC的一个外角
所以∠AGB=∠ACB+∠GAC
=∠BAG+∠GAC
=∠BAC
综上，∠BAG=∠ACB，∠AGB=∠BAC
所以△ABG与△CBA相似
所以AB/BG=BC/AB
即AB^2=BG·BC

Answer 2

证明： 连接CD；
∠GFD+∠GCD=90+90=180度； 所以 G,F,D,C 四点共圆； 所以 BG×BC=BF×BD;
又因为∠BAD=90度； 由射影定理： AB²=BF×BD；
综上，AB²=BG×BC