Question

已知椭圆M：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的离心率为2√2/3,

且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4√2，设直线l与椭圆交于A、B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求三角形ABC面积的最大值

Answer 1

的此题分两步解决：
第一步先求出椭圆方程：设椭圆半焦距为c
则 由题目条件知2a+2c=6+4√2(1) e=c/a=2√2/3 (2)
(1)(2)联立解得a=3 c=2√2 所以b=1
所以椭圆方程为： x^2/9+y^2=1
第二步利用参数方程法：先有题设的右顶点C（3，0）（因为a=3所以右顶点横坐标3）
设过C点的直线L1倾斜角为 α , 此直线与椭圆交于A点，
那么过C点倾斜角为 90+α 的直线L2交椭圆则为B点，
如此以AB为直径的园正好过C点且符合题意
过C点的L1参数方程： x=3+tcosα
y=tsinα
两式代入椭圆方程得：(（cosα）^2+9(sinα)^2)t^2+6tcosα=0（3）
因为直线过C点所以（3）式有一解为0
另一解为│t1│=│CA│=│-6cosα/(（cosα）^2+9(sinα)^2)│（4）
过C点的L2参数方程：x=3+tcos(90+α)=3-tsinα
y=tsin(90+α)=tcosα
同上L1代入（实际只需将最后结果(90+α)去代替（4）中的α即可）
得│t2│=│CB│=│6sinα/(（sinα）^2+9(cosα)^2)│ (5)
三角形ABC面积=1/2×│CA││CB│
=1/2×│-6cosα/(（cosα）^2+9(sinα)^2)││6sinα/(（sinα）^2+9(cosα)^2)│
=9│2sinαcosα/(9+64(sinα)^2)（cosα）^2))│
=9│sin2α/(9+16(sin2α)^2))│
=9/16×│1/[9/(16sin2α)+(sin2α)]│ （6）
注意： 对于 │ 9/(16sin2α)+(sin2α) │ 为打勾函数 因为 sin2α∈ [-1,1] 所以有最小值
当 sin2α=3/4时最小为 3/2 即 │1/[9/(16sin2α)+(sin2α)]│最大=2/3 代入（6）
三角形ABC面积最大= 9/16×2/3 = 3/8

追问

有没有别的方法啊？这种方法没学过啊，有的知识点不会啊

追答

可以的，那我从第二步开始换一种方法：
设过C（3，0）的直线L1: y=k(x-3) (1) 与椭圆交于A点
x^2/9+y^2=1 (2) (1)(2)联立整理得 (1+9k^2)y^2+6ky=0
y1=0(为右顶点) y2=-6k/(1+9k^2)（为A点纵坐标）记为yA
则 过C（3，0）的直线L2：y=-1/k(x-3) 与椭圆交于B点，将上面的结果用-1/k代替k
即得yB=6k/(k^2+9)
【做到这里我要插入一个我总结的结论：直线L交椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1于A、B两点，右顶点为M若MA垂直于MB则直线L必过定点（a(a^2-b^2)/(a^2+b^2),0）】这条结论需要我提供证明的话可以再联系我，在这里我就不加以证明了。
现在这里我引用我的这条结论：代入本题的条件得到LAB过定点（12/5，0）
则定点与C距离=3-12/5=3/5
那么三角形ABC面积=1/2×3/5×│yA-yB│=3/10×│6k/(k^2+9)+-6k/(1+9k^2)│
=9/16×│32k(k^2+1)/(9k^4+82k^2+9)│
=9/16×│1/[(9+9k^2)/(32k)+2k/(1+k^2)]│
=9/16×│1/[9/（16×2k/(1+k^2)）+2k/(1+k^2)]│（3）
设直线L1倾斜角α则k=tanα 则 sin2α=2k/(1+k^2) 代入（3）
继续运算得 =9/16×│1/[9/(16sin2α)+(sin2α)]│
对于 │ 9/(16sin2α)+(sin2α) │ 为打勾函数 因为 sin2α∈ [-1,1] 所以有最小值
当 sin2α=3/4时最小为 3/2 即 │1/[9/(16sin2α)+(sin2α)]│最大=2/3
所以 三角形ABC面积最大= 9/16×2/3 = 3/8

追问

“设直线L1倾斜角α则k=tanα 则 sin2α=2k/(1+k^2) ”是怎么来的？

追答

呵呵，三角公式中的万能公式知道吗？正玄的万能公式为：sin2α=2tanα/(1+(tanα)^2) (1)
把k=tanα代入上式就得到sin2α=2k/(1+k^2)
如果你也不知道万能公式，那么我这里给你推导一下如下：
sin2α=2sinαcosα
=2sinα/cosα*(cosα)^2
=2tanα/(1/(cosα)^2)
=2tanα/[((sinα)^2+(cosα)^2)/(cosα)^2]
=2tanα/[(sinα)^2/(cosα)^2+1]
=2tanα/[(tanα)^2+1] 即（1）的结果

Answer 2

参看网址 http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/f97f6912-54cb-4cdd-b84a-f9adfa0fbe99