如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，4），点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP=OB=t， 0＜t＜4，
如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，4），点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP=OB=t，0＜t＜4，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD；过点C、D依次向...
如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，4），点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP=OB=t， 0＜t＜4，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD；过点C、D依次向x轴、y轴作垂线，垂足为M，N，设过O，C两点的抛物线为y=ax 2 +bx+c．（1）填空：△AOB≌△ ≌△BMC（不需证明）；用含t的代数式表示A点纵坐标：A（0， ；（2）求点C的坐标，并用含a，t的代数式表示b；（3）当t=1时，连接OD，若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O，求a的取值范围；（4）当抛物线开口向上，对称轴是直线 ，顶点随着t的增大向上移动时，求t的取值范围．
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| （1）DNA或△DPA；  ；（2）C（4，t）， ；（3）a＞0或a＜ 或 ＜a＜0；（4）0＜t≤  ． |
| 试题分析：（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得：△AOB≌△DNA或DPA≌△BMC；根据图中相关线段间的和差关系来求点A的坐标： ∵∠DNA=∠AOB=90°，∴∠NAD=∠OBA（同角的余角相等）． 在△AOB与△DNA中，∵  ，∴△AOB≌△DNA（SAS）.同理△DNA≌△BMC. ∵点P（0，4），AP=t，∴  ．（2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等易推知：OM=OB+BM=t+ =4，则C（4，t）．把点O、C的坐标分别代入抛物线y=ax 2 +bx+c可以求得 确.（3）利用待定系数法求得直线OD的解析式  ．与抛物线联立方程组，解得x=0或 ．对于抛物线的开口方向进行分类讨论，即a＞0和a＜0两种情况下的a的取值范围. （4）根据抛物线的解析式  得到顶点坐标是 ．结合已知条件求得a= ，故顶点坐标为 ．由抛物线的性质知：只与顶点坐标有关，故t的取值范围为：0＜t≤ ．试题解析：解：（1）DNA或△DPA； .（2）由题意知，NA=OB=t，则OA= ．∵△AOB≌△BMC，∴CM="OB=t." ∴OM=OB+BM=t+ ="4." ∴C（4，t）．又抛物线y=ax 2 +bx+c过点O、C， ∴  ，解得 .（3）当t=1时，抛物线为 ，NA=OB=1，OA=3．∵△AOB≌△DNA，∴DN=OA=3. ∵D（3，4），∴直线OD为： ．联立方程组，得  ，消去y，得 ，解得，x=0或 .所以，抛物线与直线OD总有两个交点． 讨论：①当a＞0时，  ＞3，只有交点O，所以a＞0符合题意；②当a＜0时，若 ＞3，则a＜ ；若 ＜0，则得a＞ ．∴ ＜a＜0．综上所述，a的取值范围是a＞0或a＜ 或 ＜a＜0．（4）∵抛物线为 ，∴顶点坐标是 ．又∵对称轴是直线x=  ，∴a= .∴顶点坐标为： 
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