Question

在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E．（1）如图①，当∠A为锐角时，连接BE，试判断

在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E．（1）如图①，当∠A为锐角时，连接BE，试判断∠BAC与∠CBE的数量关系，并证明你的结论．（2）图①中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图②，CA的延长线与⊙O相交于点E，请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与（1）中你得出的关系相同？若相同，请加以证明；若不同，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∠BAC与∠CBE的关系是： ∠BAC=2∠CBE． 理由如下：连接AD， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°，即AD⊥BC． 又∵AB=AC， ∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC． 又∵∠CAD=∠CBE， ∴∠BAC=2∠CBE； （2）相同． 理由如下：连接AD， ∵AB为直径， ∴AD⊥BC， 又∵AB=AC， ∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC， ∵∠CAD+∠DAE=180°， ∠CBE+∠DAE=180°， ∴∠CAD=∠CBE， ∴∠BAC=2∠CBE．