Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD = CD时，试说明DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？

Answer 1

（1）证明：∵AD=CD， ∴∠DAC=∠DCA， ∴∠BDC=2∠DAC， 又∵DE是∠BDC的平分线, ∴∠BDC=2∠BDE, ∴∠DAC=∠BDE， ∴DE∥AC； （2）解：①当△BME∽△CNE时，得∠MBE=∠NCE， ∴BD=DC， ∵DE平分∠BDC， ∴DE⊥BC，BE=EC． ∴∠DEB=∠ACB=90°， 又∵∠B=∠B， ∴△BDE∽△BAC， ∴ ，即BD= AB= =5， ∴AD=5； ②当△BME∽△ENC时，得∠EBM=∠CEN， ∴EN∥BD， 又∵EN⊥CD， ∴BD⊥CD，即CD是△ABC斜边上的高． 由三角形面积公式得AB·CD=AC·BC， ∴CD= ， ∴AD= = ． 综上所述，当AD=5或 时，△BME与△CNE相似．