Question

设抛物线C：x 2 =2py（p＞0），过它的焦点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A，B两点，已知|AB|=2．（1）

设抛物线C：x 2 =2py（p＞0），过它的焦点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A，B两点，已知|AB|=2．（1）求抛物线C的方程；（2）已知t是一个负实数，P是直线y=t上一点，过P作直线l 1 与l 2 ，使l 1 ⊥l 2 ，若对任意的点P，总存在这样的直线l 1 与l 2 ，使l 1 ，l 2 与抛物线均有公共点，求t的取值范围．

Answer 1

（1）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），则|AB|= 1+ k 2 | x 1 - x 2 | = 1+ k 2 ? ( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 ? x 2 由题意知，抛物线的焦点F为（0， p 2 ），则直线AB的方程为 y- p 2 =1×(x-0) ，即为 y=x+ p 2 ， 联立抛物线方程得到 y=x+ p 2 x 2 =2py(p＞0) 整理得x 2 -2px-p 2 =0（p＞0），则 x 1 + x 2 =2p x 1 ? x 2 =- p 2 故|AB|= 1+ k 2 ? (2p) 2 -4?(- p 2 ) = 2 ?2 2 p=4p =2，解得 p= 1 2 故抛物线C的方程为：x 2 =y； （2）由（1）知抛物线C的方程为：x 2 =y，如图示，设C（ x C ， x C 2 ），P（0，t）， 由题意知，只需使过点P（0，t）的抛物线x 2 =y的切线PC的垂线PD与该抛物线有交点即可， 将抛物线的方程改写为y=x 2 ，求导得 y   ′ =2x 所以过点C的切线PC的斜率是 2 x C = x C 2 -t x C ，即 x C 2 =-t 由于直线PD与切线PC垂直，故直线PD的斜率为- 1 2 x C 则直线PD的方程为： y-t=- 1 2 x C x ，即是 y=- 1 2 x C x+t 联立抛物线的方程y=x 2 得到 x 2 + 1 2 x C x-t=0 由于PD与该抛物线有交点，则 △=( 1 2 x C ) 2 +4t≥0 ，即 1 -4t +4t≥0 （t＜0） 解得 - 1 4 ≤t＜0 ，则t的取值范围为{t| - 1 4 ≤t＜0 }．