Question

函数y=sin 2 x+2cosx在区间[- 2π 3 ，a]上的值域为[- 1 4 ，2]，则a的取值范围是

函数y=sin 2 x+2cosx在区间[- 2π 3 ，a]上的值域为[- 1 4 ，2]，则a的取值范围是 ______．

Answer 1

由已知得，y=1-cos 2 x+2cosx=-（cosx-1） 2 +2，令t=cosx，得到：y=-（t-1） 2 +2，显然当t=cos（- 2π 3 ）=- 1 2 时，y=- 1 4 ，当t=1时，y=2，又由x∈[- 2π 3 ，a]可知cosx∈[- 1 2 ，1]，可使函数的值域为[- 1 4 ，2]，所以有a≥0，且a≤ 2π 3 ，从而可得a的取值范围是：0≤a≤ 2π 3 ． 故答案为：[0， 2π 3 ]．