Question

如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥CD于N，

如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥CD于N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周从D运动到点C时，tan∠QCN的最大值为______．

Answer 1

解：连接OQ，
∵MN=OP（矩形对角线相等），⊙O的半径为2，
∴OQ=

1

2

MN=

1

2

OP=1，
可得点Q的运动轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，当CQ与此圆相切时，
∠QCN最大，则tan∠QCN的最大值，
此时，在直角三角形CQ′O中，
∠CQ′O=90°，OQ′=1，CO=2，
所以 此时∠Q′CN=30°，
tan∠QCN最大值为：

3

3

．
故答案为：

3

3

．