Question

若函数f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）=2x2-4x（如图）．（1）求函数f（x）的表达式，并补齐函数f（x）

若函数f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）=2x2-4x（如图）．（1）求函数f（x）的表达式，并补齐函数f（x）的图象；（2）用定义证明：函数y=f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．

Answer 1

解：（Ⅰ） 任取x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞），
由f（x）为奇函数，
则f（x）=-f（x）=-[2（-x）²-4（-x）]=-2x²-4x．…（1分）
综上所述，f（x）=

2x2?4x ， x≥0 ?2x2?4x ，x＜0

．…（2分）
如图所示：（4分）
（Ⅱ）任取1≤x₁＜x₂，…（5分）
则f（x₁）-f（x₂）=（2x12-4x₁）-（2x22-4x₂） …（6分）
=2（x12-x22）-4（x₁-x₂）=2（x₁-x₂）[（x₁+x₂）-2]．…（7分）
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂ ＞2，∴（x₁+x₂）-2＞0，
∴2（x₁-x₂）[（x₁+x₂）-2]＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），
∴函数 y=f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．…（8分）