Question

假设某种商品的需求量Q是单价p（单位：元）的函数：Q=12000-80p，商品的总成本C是需求量Q的函数：C=25000

假设某种商品的需求量Q是单价p（单位：元）的函数：Q=12000-80p，商品的总成本C是需求量Q的函数：C=25000+50Q；每单位商品需要纳税2元，试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额．

Answer 1

设销售利润为 π．由于
利润=销售额-总成本=需求量*销售单价-总成本，故
 π=π（p）=Q*p-C=（12000-80 p）（p-2）-（25000+50Q）=-80P²+16160p-649000．
由 π′=-160 p+16160=0 得，p=101．
因为 π″=-160＜0，
由函数极值的判断定理可得，当 p=101时，π 有极大值，其极大值为 π（101）=167080．
因为 p=101 是 π（p） 的唯一驻点，故 π（101）为其最大值．
所以使销售利润最大的商品单价为 101 元，最大利润额为 167080 元．