如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1，已知侧面BB1C1C与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B1BC=60°，BC=BB1=2，若二面角
如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1，已知侧面BB1C1C与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B1BC=60°，BC=BB1=2，若二面角A-B1B-C为30°，（Ⅰ）证...
如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1，已知侧面BB1C1C与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B1BC=60°，BC=BB1=2，若二面角A-B1B-C为30°，（Ⅰ）证明：面AA1C1C⊥平面BB1C1C及求AB1与平面AA1C1C所成角的正切值；（Ⅱ）在平面AA1B1B内找一点P，使三棱锥P-BB1C为正三棱锥，并求此时VP?AA1C1CVP?BB1C1C的值．
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（Ⅰ）∵面BB1C1C⊥面ABC，且面BB1C1C∩面ABC=BC，AC⊥BC，
∴AC⊥面BB1C1C，
则面BB1C1C⊥面AA1C1C （3分）
取BB1中点E，连接CE，AE，
在△CBB1中，BB1=CB=2，∠CBB1=60°
∴△CBB1是正三角形，∴CE⊥BB1，
又∵AC⊥面BB1C1C，且BB1?面BB1C1C，
∴BB1⊥AE，即∠CEA即为二面角A-BB1-C的平面角为30°，
∵AC⊥面BB1C1C，
∴AC⊥CE，在Rt△ECA中，CE=
，
∴AC=CE?tan30°=1，取C1C中点D，连接AD，B1D，
∵△CBB1是正三角形，且BB1=CB=2，∴B1D⊥C1C，
∵AC⊥面BB1C1C，∴AC⊥面B1D，
∵C1C∩AC=C，∴B1D⊥面AA1C1C，
即∠B1DA即AB1与面AA1C1C所成的线面角，
则tan∠DAB1=
＝
，…（8分）
（Ⅱ）在CE上取点P1，使
＝
，
∵CE是△BB1C的中线，∴P1是△BB1C的重心，
在△ECA中，过P1作P1P∥CA交AE于P，
∵AC⊥面BB1C1C，P1P∥CA，
∴PP1⊥面CBB1，即P点在平面CBB1上的射影是△BCB1的中心，该点即为所求，
且
＝
，∴PP1=
，
∵B1D∥CE，且B1D=CE=
，
∴
=
∴AC⊥面BB1C1C，
则面BB1C1C⊥面AA1C1C （3分）
取BB1中点E，连接CE，AE，
在△CBB1中，BB1=CB=2，∠CBB1=60°
∴△CBB1是正三角形，∴CE⊥BB1，
又∵AC⊥面BB1C1C，且BB1?面BB1C1C，
∴BB1⊥AE，即∠CEA即为二面角A-BB1-C的平面角为30°，
∵AC⊥面BB1C1C，
∴AC⊥CE，在Rt△ECA中，CE=
| 3 |
∴AC=CE?tan30°=1，取C1C中点D，连接AD，B1D，
∵△CBB1是正三角形，且BB1=CB=2，∴B1D⊥C1C，
∵AC⊥面BB1C1C，∴AC⊥面B1D，
∵C1C∩AC=C，∴B1D⊥面AA1C1C，
即∠B1DA即AB1与面AA1C1C所成的线面角，
则tan∠DAB1=
| B1D |
| AD |
| ||
| 2 |
（Ⅱ）在CE上取点P1，使
| CP1 |
| P1E |
| 2 |
| 1 |
∵CE是△BB1C的中线，∴P1是△BB1C的重心，
在△ECA中，过P1作P1P∥CA交AE于P，
∵AC⊥面BB1C1C，P1P∥CA，
∴PP1⊥面CBB1，即P点在平面CBB1上的射影是△BCB1的中心，该点即为所求，
且
| PP1 |
| AC |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∵B1D∥CE，且B1D=CE=
| 3 |
∴
| VP?AA1C1C |
| VP?BB1C1C |
|
