Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A为第二象限内一点，过点A作x轴垂线交x轴于点B，点C为x轴正半轴上一点

如图，在平面直角坐标系中，已知点A为第二象限内一点，过点A作x轴垂线交x轴于点B，点C为x轴正半轴上一点，且OB、OC的长分别为方程x2-4x+3=0的两根（OB＜OC）．（1）求B、C两点的坐标；（2）作直线AC，过点C作射线CE⊥AC于C，在射线CE上有一点M（5，2），求直线AC的解析式；（3）在（2）的条件下，坐标平面内是否存在点Q和点P（点P在直线AC上），使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解方程x²-4x+3=0得x₁=1，x₂=3．
依题意得点B的坐标是（-1，0），C（3，0）．

（2）设CE的直线解析式为y=kx+b，把点C，M的坐标代入可得

0＝3k+b 2＝5k+b

?

k＝1 b＝?3

．
得出CE的直线解析式为y=x-3，
又因为直线CE⊥AC，故直线AC的解析式为y=-x+3．

（3）存在．
Q₁（3，3）；Q₂（?

3 2

2

，

3 2

2

）；Q₃（

3 2

2

，?

3 2

2

）；Q₄（

3

2

，-

3

2

）．