Question

已知函数f(x)＝ax?ax?2lnx（a≥0），若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围

已知函数f(x)＝ax?ax?2lnx（a≥0），若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

原函数定义域为（0，+∞）
∴f′(x)＝a+

a

x2

?

2

x

=

ax2?2x+a

x2

∵函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，
∴f'（x）≤0或f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立
（1）当a＝0时，f′(x)＝?

2

x

＜0在（0，+∞）内恒成立，
∴a=0满足题意
（2）当a＞0时，设g（x）=ax²-2x+a（x∈（0，+∞））
由题意知△=4-4a²≤0
∴a≤-1或a≥1
又∵a＞0
∴a≥1
所以a的取值范围为：a=0或a≥1