Question

设函数y=ax2与y=lnx相切，则a的值多少

Answer 1

a=1/(2e)≈0.185。因为抛物线与对数曲线相切，所以它们只有一个交点，即ax²=ln(x)只有一个实根。根据判别式可以利用二分法得到a的近似值约等于0.185。这是求得近似值的方法，如果要求精确值，可以设切点为(p,q)，然后对二者求导，导函数分别为2ax和x^-1。由题意可得二者导函数图象必定交于一点，所以得到方程2ax=1/x，则此时的x即为切点横坐标，同时方程也只有唯一解x(或理解为x是方程的二重根)。所以方程变形后可得p²=1/(2a)。又因为(p,q)在抛物线上所以得到q=ap²,联立后解得p=√e且q=ln p=0.5。获知切点后将切点横纵坐标代入二次函数解析式，得到一个关于a的一元二次方程，解得a=1/(2e)。与超越函数图象相切求解析式的问题，都可以根据题意列出方程，然后判断方程的解是否超越数，如果是就利用二分法求出近似值，反之则灵活运用公式等方法求出根的精确值。

Answer 2

设切点（m,n),x>0,a>0,
y'=2ax,y'=1/x,
2ax=1/x,x^2=1/(2a),m^2=1/(2a),
n=am^2,n=1/2,
n=lnm,m=√e,
e=1/(2a),
a=1/(2e).